基本情報

デルタ関数とその性質

デルタ関数とその性質
の縦線集合と横線集合の変換と変換方法を教えて頂きたいです。どなたか分かる方よろしくお願いします。" />

コーシーの主値と超関数 (クーロンポテンシャルへの短い言及を通して)

何も間違っていない. で割ってはならないので,これが最良の解な訳だ.
ハイ,オシマイ.That’s all!

0 デルタ関数とその性質 - Wikipedia 0 出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 ナビゲーションに移動 検索に .

https:デルタ関数とその性質 //ja.wikipedia.org/wiki/0#歴史

積分による庇護

略式記述の注意

ある二つの対象 がテスト関数 との積をとって,(必要ならばコーシーの主値をとって) 得られる値が一致するならば,これを と略式記述しようというものである.

  • 略式記述はあくまでも積分をとることを意味する.
  • 略式記述での等号は完全な一致を表す普通の等号 (相当関係) ではない.

例えば というのは積分をとってはじめて無矛盾に解釈されるものであり,且つ と が同じだとは述べていない.

ゼロ割に限りなく近いもの

は を除いて,完全に解ける.また に限りなく近い結果は正負の無限大となる.我々は超関数論によって後者の「正負の無限大」という特異性を積分で覆い隠して,実りある論理を展開する.この了解の下,「解く」と次を得る.

$$
y = \mathrm\frac + C\delta(x) ~~ (\forall C \in \mathbb)
$$

但し我々は今後,コーシーの主値を表す記号を多用するので, ではなく,より簡便な によって,略式記述でのコーシーの主値を表すことにする.

また問題を再定義して得られた解には任意の複素定数 が存在することにも注意する.
同時に自明な解として も許されていることに注意する.

この解の不定性は境界条件によって決めることができる.
ちょっと想像できない場合には という題材が,実のところ,グリーン関数を意識したものであることを想起するとよい.

コーシーの主値と超関数 (リップマン・シュウィンガーの関係式)

ここで というのはコーシーの主値や超関数の略式記述と同様の略式記述である.
その定義は導出から明らかなように次のようなものである.

つまりヒルベルトの公式は次のように書かれるものであり,リップマン・シュウィンガーの関係式もしくはプレメリの公式 (Sokhotski–Plemelj の定理) とよばれる.

リップマン・シュウィンガーの関係式とゼロ割に限りなく近いもの

リップマン・シュウィンガーの関係式は特に の場合には,超関数の文脈で解釈した の解 の一つを与えていることがわかる.つまり任意の複素定数という不定性について, の場合を与える解である.

積分表示と収束因子 (アーベル極限)

これは特異点を だけずらすという操作が超関数の積分表示では収束因子を挿入する操作であることを表している.そしてこのような収束因子による極限をアーベル極限という.またこの意味での超関数 (佐藤超関数) による (逆) フーリエ変換はアーベル極限によって定義されることになる.

シュワルツ超関数 (デルタ関数とその性質 distribution) と佐藤超関数 (hyperfunction)

佐藤超関数 は正則関数 の実軸上の境界値の差として定義されるのである.ここに は定義関数とよばれる.

略式記述への習熟

  • 超関数を定義付ける線型汎関数としての積分作用素とテスト関数を省略する記述
  • コーシーの主値を定義付ける積分作用素を省略し被積分関数のみを記述
  • 特異点を無限小だけずらす極限操作と積分作用素を省略し被積分関数のみを記述

これらをすべて省略せずに書くことはあまりない.煩雑になるからである.
一方でこれら省略記述に従った記述は背後の関係を理解しないまま,
計算だけができてしまうという運用上の危険性を孕んでいる.

似たような話として相対論でのアインシュタインの規約や,
量子論でのディラックのブラケット記法がある.
これらはたいへん有用な記法だが,それ自体への慣れと,
ちょっとした変種への対応を理解する必要がある.

ディラックのデルタ関数と超準解析やコロンボ超関数

ここで超関数による定式化ができたからといって,この図のような描像が可能な定式化が存在しないとまでは述べていないことに注意する.なるべく上記の図を尊重した定式化としては,実数 に無限大や無限小を数として取り込んだ超実数 (や超超実数 ,超超超実数 などなど) なるものを扱える超準解析によるディラックのデルタ関数 の定式化がある.

[0807.0529] The sequence of ideas in a re-discovery of the Colombeau algebras

This is a gentle introduction to Colombeau nonlinear generalized functions, a generalization of .

フーリエ変換の定義と性質

物理数学

フーリエ変換の定義

フーリエ変換の物理的意味

とは言うものの,一応それっぽいことを書いておきます。どのような関数でも正弦関数と余弦関数を適当に定数倍して足し合わせることで表現できる(フーリエの定理)ことが知られています。この時足し合わせるのは,様々な(理論上は無限の種類の)周波数をもつ三角関数を足し合わせる必要があります。例えば高校で出てくる3倍角の公式\[ \cos^3(t) = \dfrac \cos(3t) + \dfrac \cos(t) \] も,左辺の関数を周波数\(\dfrac<2\pi>\)の関数である\(\cos(t)\)と周波数\(\dfrac<2\pi>\)の関数である\(\cos(3t)\)を使って表現した,ということができます。

このような時,関数を分解したときのそれぞれの周波数の寄与度は係数で表現できそうですよね。つまり先の例での\(\cos^3(t)\)は,周波数\(\dfrac<2\pi>\)の寄与が\(\dfrac \),周波数\(\dfrac<2\pi>\)の寄与が\(\dfrac \)ということができます。つまり,時刻\(t\)で関数を表現する代わりに,周波数\(\omega\)の寄与度で表現しているわけです。時間によって変化するある関数やデータにおいて,どの周波数からの寄与が大きいかを調べることをスペクトル解析と言ったりもして,幅広い分野で用いられています。

フーリエ変換の数学的性質

この変換の解釈はこの位にしておいて,数学的な性質をチェックしていきましょう。いちいち積分記号を書くのも面倒なので\(f(t)デルタ関数とその性質 \)から\(\hat(\omega)\)への変換を\[ \hat(\omega) = \mathcal[f(t)] \]と書くことにしましょう。まず,これは線型変換ですから線型性

と書けます。これは非常に便利で,微分のフーリエ変換は元の関数のフーリエ変換の\(i\omega\)倍となります。次に,元の関数を時間方向に\(a\)倍縮めたものの変換は

デルタ関数の微分の性質を示したいのですが、方法が分かりません! どなたか分かりますでしょうか……

roo********さん のご回答の通り,デルタ関数や ヘビサイド関数は超関数(distribution)であり, 普通の関数ではありません。通常の微分はできません。 常にテスト関数との積の積分,つまり内積を通して のみ定義できます。 例えばデルタ関数は,テスト関数f(t)と共に ∫_^∞ δ(t-t0) f(t) dt = f(t0) です。で,ヘビサイド関数の微係数は ∫_^∞ dH(t-t0)/dt f(t) dt を部分積分していくと結局 = f(t0) = ∫_^∞ δ(t-t0) f(t) dt となるので,形式的に dH(t-t0)/dt = δ(t-t0) と書くことがあります。しかし,もちろんヘビサイド関数を 普通に微分することはできなわけです。この最後の等式は 超関数的な等式と呼ぶ方がいいことになります。 というわけで,デルタ関数の微係数の場合の特性は ∫_^∞ dδ(t-t0)/dt f(t) dt デルタ関数とその性質 = - df/dt(t0) になるわけです。ですから,よく教科書などに図示されている のは,t=t0の近傍にεだけ離れた位置二か所に,向きが逆の デルタ関数が存在するときのε→0 の極限のように(力だと 解釈するとある偶力)描いてありす。

質問者 2020/2/22 17:13

ありがとうごさいます。 超関数は、通常の意味としての関数としては存在できず、テスト関数との内積を通して定義される。 ということがはっきり分かりました。 当然、微分も内積を通して定義される。 wikiなどと合わせて調べて理解することができました。 丁寧な回答ありがとうごさいました

その他の回答(2件)

こういうことだと思います。

前提として写真の等式はどの意味で成り立つと言ってるか分かる? δ超関数は関数ではないし通常の意味で微分可能でもない事は分かってる? 通常の関数の意味で成り立つ訳ではなく、積分による内積を入れた線型空間上の線型汎関数の意味で成り立つ その事が分かれば答えは自ずと分かるはずなので、そもそも前提を理解していない可能性有 であれば、まず「L^2空間、線型汎関数、デルタ超関数、微分」を調べてみては?

質問者 2020/2/22 15:33

回答ありがとうごさいます。 そもそも超関数が何か(本当は数学的に定義できない関数?みたいなイメージしか持っていなかった) について、まず定義を含め基本的な部分を理解していなかったです。 超関数とは、~汎関数であり……と いった説明をちゃんと確認してみます。 率直なアドバイスで 根本的に理解していないことがわかりました。 ありがとうごさいます

あわせて知りたい

デルタ関数に導関数は存在していますか。 また、存在しているとすればどの様な関数になりますか。 (デルタ関数はガウス分布関数の分散が無限小のケースであると考えることができる。 したがってデルタ関数の導関数はガウス分布関数導関数の分散が無限小のケースであると考えることができる。 具体例 電荷が無限大、体積が無限小、間隔が無限小の電気双極子の電荷の分布はデルタ関数の導関数となる。)

デルタ関数に導関数は存在していますか。 また、存在しているとすればどの様な関数になりますか。 (デルタ関数はガウス分布関数の分散が無限小のケースであると考えることができる。 したがってデルタ関数の導関数はガウス分布関数導関数の分散が無限小のケースであると考えることができる。 具体例 デルタ関数とその性質 電荷が無限大、体積が無限小、間隔が無限小の電気双極子の電荷の分布はデルタ関数の導関数となる。)

デルタ関数を微分するとどうなりますか? 今、 Πδ(q-q(t))のtでの微分をしています。 どうなるのでしょうか?

デルタ関数を微分するとどうなりますか? 今、 Πδ(q-q(t))のtでの微分をしています。 どうなるのでしょうか?

大学で量子化学を勉強しているんですけど、完全性というものの意味がよくわかりません。 シュレディンガー方程式を解いて得られた波動関数の組を使うと、同じ境界条件を持つ任意の関数をその波動関数の一次結合で表すことができるとあるのですが、わかりやすく言い換えてもらえませんでしょうか? よろしくお願いします。

大学で量子化学を勉強しているんですけど、完全性というものの意味がよくわかりません。 シュレディンガー方程式を解いて得られた波動関数の組を使うと、同じ境界条件を持つ任意の関数をその波動関数の一次結合で表すことができるとあるのですが、わかりやすく言い換えてもらえませんでしょうか? よろしくお願いします。

英語で箇条書きする場合・・・ 英語で、「~について知りたい」という文章を箇条書きで書くのですが、 どう書くのが正解なのか困っています。。 宿題でなく、公式な文書では、どう書けばいいのでしょうか??

英語で箇条書きする場合・・・ 英語で、「~について知りたい」という文章を箇条書きで書くのですが、 どう書くのが正解なのか困っています。。 デルタ関数とその性質 宿題でなく、公式な文書では、どう書けばいいのでしょうか??

デルタ関数について ∫[-∞,∞]f(x)*δ(x-a)dx = f(a) あるいは ∫[α,β]f(x)*δ(x-a)dx = f(a) (α < a < β) この証明・導出はどのように行うのでしょうか?

デルタ関数について ∫[-∞,∞]f(x)*δ(x-a)dx = f(a) あるいは ∫[α,β]f(x)*δ(x-a)dx = f(a) (α < a < β) この証明・導出はどのように行うのでしょうか?

小5 分数と割り算で、1.73を分数で表すと、100/173になりますが、この答えはバツなんですか?また、帯分数にするとどうなるんですか?

小5 分数と割り算で、1.73を分数で表すと、100/173になりますが、この答えはバツなんですか?また、帯分数にするとどうなるんですか?

デルタ関数の問題です。 デルタ関数のもつ次の性質を示してください。 (1)δ(-t)=δ(t)(δは偶関数) (2)tδ(t)=0 (3)δ(at)=1/|a|δ(t)

デルタ関数の問題です。 デルタ関数のもつ次の性質を示してください。 (1)δ(デルタ関数とその性質 -t)=δ(t)(δは偶関数) (2)tδ(t)=0 (3)デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 δ(at)=1/|a|δ(t)

単位ステップ関数をフーリエ変換する課題があるのですが、答えは出ているのですが、途中式が分かりません。 オイラーの公式などを使って出すのだと思いますが、中々上手くいきません。 途中式を教えて下さい。

助けてください PR-500MIにSC-40NE「2」を挿してWi-FiをつなごうとしてたのですがWi-Fiが使えません ランプはカードのACTとPWRが同時に点滅して、 機械のオプションのランプも同時に点滅しています どうしたらいいのですか?

助けてください PR-500MIにSC-40NE「2」を挿してWi-FiをつなごうとしてたのですがWi-Fiが使えません ランプはカードのACTとPWRが同時に点滅して、 機械のオプションのランプも同時に点滅しています どうしたらいいのですか?

ディラックのデルタ関数が偶関数δ(-x)=δ(x)であることを示せの問題がわかりません。 分かる方よろしくお願いします!

ディラックのデルタ関数が偶関数δ(-x)=δ(x)であることを示せの問題がわかりません。 分かる方よろしくお願いします!

デルタ関数の積分についてです。 添付している画像の1番下の部分の計算なのですが、積分区間が0からtになっています。積分区間-∞から∞として計算すれば画像の通りの計算結果になるのは理解しているのですが積分区間0からtとなっています。 仮に時刻tを∞とみなした時の積分区間 0から∞で計算した時も画像のような計算結果になるのでしょうか?

デルタ関数δ(x)を用いた積分を求めよ。という問題なのですが、部分積分してみたのですが、f(∞)、δ(∞)などの処理ができず、結局答えが分かりません! どなたか教えてください! 大学微分積分です

夜遅くに緑茶を入れて、それを翌日に飲むと毒だと聞いたことがありますが、そうなんでしょうか。またその一度しか使っていないお茶葉を、次の日に使ってもよいのでしょうか。ただまずいだけならいいのですが。

夜遅くに緑茶を入れて、それを翌日に飲むと毒だと聞いたことがありますが、そうなんでしょうか。またその一度しか使っていないお茶葉を、次の日に使ってもよいのでしょうか。ただまずいだけならいいのですが。

Fランの数学科でも卒業する時には東大の数学の入試問題を余裕で解けますか?

Fランの数学科でも卒業する時には東大の数学の入試問題を余裕で解けますか?

Wordの数式入力に関しての質問です。 数式入力で数式を入れたあと、なぜか斜字(イタリック)になります。 ちょっと不便な気がするので、数式を入力したあとイタリックにならないように設定し たいです。 Alt+ Shift+

Wordの数式入力に関しての質問です。 数式入力で数式を入れたあと、なぜか斜字(イタリック)になります。 ちょっと不便な気がするので、数式を入力したあとイタリックにならないように設定し たいです。 Alt+ Shift+"="で数式入力を出し、 C^n級と打とうとしたら 級がイタリックになります。

大学院入試問題です。東工大理学院数学系2020年午前[3]です。 この問題の解答を教えてください。宜しくお願いいたします。 できれば、疑問についても教えてください: この問題では、X=∪<(1/n,y)|n∈N、0≦y≦1>ですが、 連結だが弧状連結でない例として教科書によくあるように、 もし、Xが X=∪<(1/n,y)|n.

apexのcpu使用率が90%を越えてカクつきプレイが出来ません。 使っているのは CPU:Intel Core i5-8500 GPU:Radeon RX 6700 XT 恐らく最近流行りのcpuバグなのでしょうが、cpuの性能不足感も正直否めません。 2週間ほど前にgpuは元々つけていたGTX1060-3GBと交換しました。交換する前と交換した直後はcpu使用率も恐らく60%くらい.

apexのcpu使用率が90%を越えてカクつきプレイが出来ません。 使っているのは デルタ関数とその性質 CPU:Intel Core i5-8500 GPU:Radeon RX 6700 XT 恐らく最近流行りのcpuバグなのでしょうが、cpuの性能不足感も正直否めません。 2週間ほど前にgpuは元々つけていたGTX1060-3GBと交換しました。交換する前と交換した直後はcpu使用率も恐らく60%くらい.

あっちょんぶりけ!! って、なんか意味ありましたっけ?

あっちょんぶりけ!! って、なんか意味ありましたっけ?

論文の図と写真のタイトルの書き方についてですが, 写真と図は分けた方がよいのでしょうか? 写真も図にしてよろしいのでしょうか? 写真も図にした方がよいのでしょうか? 教えていただけるでしょうか. よろしくお願いいたします.

論文の図と写真のタイトルの書き方についてですが, 写真と図は分けた方がよいのでしょうか? 写真も図にしてよろしいのでしょうか? 写真も図にした方がよいのでしょうか? 教えていただけるでしょうか. よろしくお願いいたします.

行列式の計算がどうしても合わないので、教えて下さい!!この行列式の値の答えは-72です。

(3.002)^2を微分を利用して近似を出すにはどーしたらいいのでしょうか?

(3.002)^2を微分を利用して近似を出すにはどーしたらいいのでしょうか?

マクローリン展開についてです。 cosxのマクローリン展開において cosx=Σ(n=0→∞)<(-1)^n/(2n)!></p>
<p>x^n. ① このように展開できると思うのですが、例えばf(x)=cosxとしたときに1回微分を考えるとf'(0)=0となります。しかし、①の式をcosx=Σ(n=0→∞)x^nと捉えてn=1を代入するとx^nはf(x)を2回微分したものにx=0を代入した値、すなわちf''(0)となります。 このnとはn回微分のnなのですか? それとも上記のの第n項なのですか?

マクローリン展開についてです。 デルタ関数とその性質 cosxのマクローリン展開において cosx=Σ(n=0→∞)x^n. ① このように展開できると思うのですが、例えばf(x)=cosxとしたときに1回微分を考えるとf'(0)=0となります。しかし、①の式をcosx=Σ(n=0→∞)x^nと捉えてn=1を代入するとx^nはf(x)を2回微分したものにx=0を代入した値、すなわちf''(0)となります。 このnとはn回微分のnなのですか? それとも上記のの第n項なのですか?

テキストの答えと合いません。 どこで間違っているのか教えてください。 対数微分法で微分せよ y=(x-3)^4/{(x-1)^2・(x+2)^2} 答えは、y'=2(x-3)^3・(7x-1)/{(x-1)^3・(x+2)^3} です。 私の解答は、 logy=log{(x-3)^4/{(x-1)^2・(x+2)^2}} 両辺を微分すると y'/y=(4/x-3)-(2/x-1)-(2/x+2)=(6x-2)/((x-1)(x-3)(x+2)) となって、y'=2(x-3)^3・(3x-1)/{(x-1)^3(x+2)^3} なってしまって、 答えの(7x-1)が(3x-1)になってどうしても合いません。 どなたかどこで計算が間違ってるのか教えてください。 答えが間違ってるのではないかと思っています。 以上、よろしくお願いします。

テキストの答えと合いません。 どこで間違っているのか教えてください。 対数微分法で微分せよ y=(x-3)^4/{(x-1)^2・(x+2)^2} デルタ関数とその性質 答えは、y'=2(x-3)^3・(7x-1)/{(x-1)^3・(x+2)^3} です。 私の解答は、 logy=log{(x-3)^4/{(x-1)^2・(x+2)^2}} 両辺を微分すると y'/y=(4/x-3)-(2/x-1)-(2/x+2)=(6x-2)/((x-1)(x-3)(x+2)) となって、y'=2(x-3)デルタ関数とその性質 ^3・(3x-1)/{(x-1)^3(x+2)^3} なってしまって、 答えの(デルタ関数とその性質 7x-1)が(3x-1)になってどうしても合いません。 どなたかどこで計算が間違ってるのか教えてください。 答えが間違ってるのではないかと思っています。 以上、よろしくお願いします。

大学数学です。 D=<(x,y):0≦x≦π,sinx≦y≦cosx></p>
<p>の縦線集合と横線集合の変換と変換方法を教えて頂きたいです。どなたか分かる方よろしくお願いします。

デルタ関数

デルタ関数とは , 空間の一点にだけ存在する粒子を数式中に表現したいためにディラックによって発明された関数である . 理論上の話だが , デルタ関数とその性質 ある一点において密度は無限大 , しかしその密度を積分して全体量を求めると有限量であるという性質が欲しかったのである . イメージとしては次のような関数である . のところでだけ無限大となり , それ以外のところでは 0 である . しかし無限大というのは数値ではなくて , 限りなく大きくなる極限を考えるときのイメージに過ぎないので , これを定義として使うのは数学的にふさわしくない . しかも「0 を含む区間で積分すると有限の値になる」という性質もまだ言い表せていない .

実は次のように定義しておけば万事解決することが分かる . ここで出てくる は任意の実連続関数であるとする . どんな形の関数 を使っても , デルタ関数とその性質 デルタ関数と掛け合わせて積分すると , での の値だけが拾われて出てくるとするのである .

なぜこれでうまく行くのかを説明しよう . 上の定義のところに , 常に 1 であるような関数 を当てはめてみる . すると次のように , デルタ関数を積分すると有限値である 1 になることが導かれる . さらに , どんな関数を使っても における値 しか拾ってこないことから , 以外の区間での の値はデルタ関数によって無効化されていることになる . つまり , 以外の区間では となっているのだと言えるだろう .

というわけで , (1) 式や (2) 式では無限積分を使っているが , 積分区間に を含んでいさえすれば同じ形の式が成り立っているとして良い . デルタ関数は関数に似てはいるが , 実は関数ではない . これを関数だと認めると , 数学での分類の上ですっきりしない部分が出てくるらしいのである . それで数学では関数 (function) ではなく超関数 (distribution) というものに分類されている . しかし物理学徒はそのようなことには無頓着なのだ .

原点以外のところへずらす

デルタ関数 では原点 が特別な点になっている . しかし という形を使うと になるところでデルタ関数の能力が発揮されることになるので , が特別な点になる . この形は粒子が に存在していることを表すのに使われる .

これに関連して , 次のような性質が言えるだろう . このようにすると での関数 の値 が取り出されてくるというわけである .

この性質はちゃんと数式を使って論理的に導き出すことができる . と置き換えた上で (1) 式を当てはめればいい .

偶関数に似た性質

(1) 式の形で定義されたデルタ関数は偶関数に似た次のような性質を持つ . あたかも原点を挟んで左右対称であるようなイメージである .

これを導くには次のようにすれば良い . まず (1) 式の の代わりに を使ってやると , 次のことが言える . 積分範囲が全範囲の積分では被積分関数の積分変数の符号を変えても結果は変わらないので , この左辺の被積分関数の を デルタ関数とその性質 に置き換えた次の式が成り立つ . この式と (1) 式とで引き算してやれば次の式が成り立つ . これが任意の関数 について成り立つことから , カッコ内も 0 だと言えて , 先ほど書いた性質が導かれるのである .

実は左右対称ではない形の関数の極限としてのデルタ関数を考えることもできるのだが , その場合でも (1) 式と同じ性質を持つので結局は同じ結論にたどり着くことになる . 先ほどから「デルタ関数は偶関数である」とは言わずに「偶関数に似た性質を持つ」と言っているのはそういう事情があるからである . デルタ関数の本質は積分したときの性質にこそあり , 本当に左右対称であるのかどうかといったイメージの差は積分したときに消えてしまうのである .

普通は (1) 式を使って定義するものであるし , 左右対称のイメージを持っていた方が物理的にも自然なことが多いだろう . それで次のような関係が仮定されることがある . ところで偶関数 には次のような性質が成り立っている . これと同様に という関係が成り立っているのだが , これは別に偶関数の性質を持ち出さなくても (1) 式で とすればすぐに分かることだろう . これを積分記号を省略して次のように書くことがある . デルタ関数は積分してこそ意味があり , いずれ積分されなければならない運命にあるのだから , この形になっていれば積分しようがしまいが 0 であるのと同じだという意味である . これの応用として , デルタ関数とその性質 次のように書いたものも成り立っている .

変数のスケールを変える

関数 だったものを にすると , の場合にはグラフは横に押し潰された形になる . デルタ関数の場合には元々一点のみで無限大のグラフなのだから押し潰されてもグラフの形に変わりない感じはするのだが , 次のような関係が成り立っている . これは変だ . 横から押し潰された結果としてなぜか高さが縮むことを表しているように思える . 普通の などのグラフと比べてしまうと逆のことが起きているイメージなのだが , こう考えないと辻褄が合わないので受け入れるしかない .

これを導くには (2) 式の を に変数変換してやればいい . 下から デルタ関数とその性質 2 番目の式は積分変数が になっているが , これを代わりに でも でも好きな記号を使って書き換えても結果は同じなわけで , 結局 で書き換えてみたのが最後の式である . それで最初の積分と最後の積分を比較すれば次の式が成り立っていると言えるだろう . しかしこの式は でも正しいだろうか ? デルタ関数は変数の正負にかかわらず負になることはないのだから , 右辺は負になり , 左辺は正になる . どこかがおかしい . 実は先ほどの変数変換は デルタ関数とその性質 の場合には次のように計算しなくてはならないのである . つまり , の場合には である . これらを同時に表したければ次のように表しておけば良いだろう . の場合にはこれらの議論は意味を成さないので , (4) 式のように を分母に持ってきて , デルタ関数とその性質 「ただし 」とでも書いておけば , に 0 を入れたりする間違いをかなり防げるだろう .

デルタ関数の中に関数をつっこむ

の形にも依るが , となるような点 は複数あるかも知れず , その全ての点で は無限大になるのだろうと予想が付く . すると , 次のような形で表せば良いだろうか ? しかしこれは少しだけ違うのである . 実際は次のようになる . なぜこうなるのか , (4) 式を知っていれば大体察しが付くだろう . (4) 式における定数 はどんな速度で原点をすり抜けるかを表していると言える . 今回の (5) 式においては , その点における の微分が同じ意味を持っているのである .

ところで , デルタ関数の中につっこむことの出来る には制限がある . は 0 になってはいけないので , 軸にギリギリ接するような曲線を持つ関数は (5) 式には当てはめられない . 軸に触れるとしたら必ず交差する形になっているグラフの関数であるべきである .

さらに (5) 式の応用として次のようなものが有名である . これは として を当てはめただけのことである .

デルタ関数の微分

デルタ関数を微分したものはどんな性質を持つだろうか ? 次のような積分を考えて部分積分をしてみると面白いことが導かれる . この右辺第 1 項は 0 になる . なぜなら , デルタ関数は無限の彼方では 0 だからである . 要するに次のような関係が得られるわけだ . この右辺についてはデルタ関数の基本的な性質から , どうなるかすぐに分かるだろう . である . よって次の関係が成り立っていると言える . これこそが が持つ性質を表している . デルタ関数に似ているが , 少しだけ違う . 任意の関数 とともに積分すると , なぜか における の微分値にマイナスを掛けたものが放り出されてくるのである .

では 2 階微分するとどうなるだろう ? デルタ関数とその性質 同じ話を繰り返せばいい . まず次のような積分を部分積分で表す . この右辺第 1 項は 0 になる . なぜなら , デルタ関数を微分したものは 以外ではデルタ関数に良く似ていることが先ほど示されたので , 無限の彼方では 0 だからである . それで次のような関係が得られる . この右辺がどうなるかは , 先ほどデルタ関数の微分の性質が分かったばかりなので当てはめてみれば簡単に分かる . である . よって次の関係が成り立っていると言える . これこそが が持つ性質を表している .

デルタ関数の 1 階微分は奇関数的である

デルタ関数を 1 階微分したものの性質をもう少し調べてみよう . 前にデルタ関数が偶関数的であると説明したときと同じ手順を使う . (7) 式の の代わりに を使ってみよう . この時点で既に , 以前とは違ったことが起こり始めているのが分かるはずだ . の微分は となるので , (7) 式の右辺にあったマイナスが相殺されているのである . この式の左辺の被積分関数内の デルタ関数とその性質 の符号を入れ替えても全体は変化しないので , となり , これと (7) 式を足し合わせることで , 次の関係が得られる . 要するにこういうことだ . 変数の符号が変わると全体の符号も変わる . 原点以外では 0 のくせして , まるで奇関数のような性質を持つのである . 具体的なイメージは難しいが面白い性質だと言えるだろう .

デルタ関数どうしの積

次のような公式も見られる . 何かすごそうな関係に思えるのだが , (3) 式の の部分にそのままデルタ関数を当てはめて , あとは偶関数的な性質を使って見た目を整えてみただけのものだ .

(1) 式のデルタ関数の定義では を任意の実連続関数だとしていたのだが , そこに連続でも関数でもないデルタ関数そのものを入れてしまったことになる . そんなことをしてもいいのかどうか私には良く分からないが , 公式として出回っているものをとにかく集めてまとめるという方針なので書いておいた .

次の公式もびっくりするようなものだが , 今の式で , とすれば確かにこうなりそうだ . これがどこまで利用価値があるものなのかはよく分からない . このような式を見かけたときに正体が分からなくて驚いたりしないように書いておいた .

デルタ関数を通常の関数で近似することも行われる . 極限を使って でデルタ関数に近付くような関数列を考えるのである . 幾つかの具体例を見た方が早い . これらは で積分すると常に 1 になるし , では は無限大に近付くし , それ以外の点では 0 に近付く . 要するにデルタ関数の形に徐々に近付く .

この2番目と3番目の式の積分が 1 になることを確認するのはちょっとしたテクニックが要って説明が長くなるので略させてもらうことにする . 2番目は複素積分の手法を駆使し , 3番目はこの辺りの公式を使うのである .

このような条件を満たすものは他に幾つでも考えることができる . 教科書では などのようにさらっと出てくることがあるが , デルタ関数とその性質 そういう式変形をするための特別な技などがあるわけではないので , どうやって導き出したのかと悩む必要はない .

複素フーリエ解析の知識を使うと , デルタ関数を次のように表せることが分かる . デルタ関数の「 フーリエ積分表示 」である . 簡単に「積分表示」とか「積分表現」とも呼ばれる .

フーリエ解析はあとで説明するつもりなので , ここでは別の方法でこの関係が成り立っていそうなことを説明しておこう . まず , 積分範囲を変えた次の式ならば簡単に計算できる . この結果は ! つい先ほどデルタ関数の近似表現として挙げた中に同じ式があったではないか ! ? というわけで , デルタ関数とその性質 を考えれば , それはデルタ関数である .

3次元のデルタ関数

点状の粒子が に存在することを表すのに を使うと説明したが , これでは 軸上の 1 次元でのことしか表せない .

粒子が 3 次元空間の一点 に存在することを表したい場合には次のように 3 つのデルタ関数を組み合わせて使えばよい . これを 3 次元で積分すればちゃんと 1 になる . このようなデルタ関数の積を毎回書くのは長ったらしくて面倒なので , 変数部分をベクトルにした というものを使って略して書くことが多い . 3 つのデルタ関数の積であることを強調するために と書く場合もあるようだ .

デルタ関数 (読み)でるたかんすう

デルタ関数はディラックが1925年ころ量子力学の理論体系を整備するために導入したもので、

という性質をもつものとして定義された。したがって、これは普通にいう関数ではないが、ディラックは物理学的な直観から、実軸上の連続関数(x)に対し、

という公式や、また、デルタ関数の微分を考え、

などの公式を導き、積分因子としては積分の値が決まるものとし、しかも、いろいろな物理現象の計算に有効に使った。このような形式的な取扱いに数学的に厳密な証明を与える試みはいくつかあったが、1950年ころL・シュワルツが超関数の理論をつくり、これを完全に解決した。無限回連続微分可能な関数で、|x|が大きいところでは恒等的に0になる関数の集合をで表し、(x)∈に対し、線形汎(はん)関数δをδ()=(0)で表すと、δは超関数になる。これをディラックの伝統に従って

と書き、超関数の微分法に従って微分すると

など、前に書いた微分の公式が得られる。

関数(x)のフーリエ変換を(ξ)で表す。超関数のフーリエ変換の定義に従って、デルタ関数のフーリエ変換を計算すると、
=1,′=iξ,……, (m) =(iξ) m
となる。この性質は、応用において重要である。

デジタル大辞泉 「デルタ関数」の解説

デルタ‐かんすう〔‐クワンスウ〕【デルタ関数/δ関数】

ディラックが量子力学において導入した関数。通常、δ(x)と記述され、δ(x)=0(x≠0)かつδ(0)=∞であり、xの全直線上での定積分が1となる性質をもつ。その有用性から便宜的に用いられていたが、のちにシュワルツが超関数として数学的に厳密な定義づけをした。
[補説]工学分野では、単位インパルス関数・インパルス関数・衝撃関数とよばれる。

精選版 日本国語大辞典 「デルタ関数」の解説

デルタ‐かんすう ‥クヮンスウ 【デルタ関数】

〘名〙 理論物理学研究上の必要から、ディラックが導入した数学的対象 δ(x) のこと。関数に類似しているのでその名がある。次の四条件によって定義される。δ(0)=∞δ(x)=0(x0) 全直線上での定積分は1に等しい。それと複素数値関数 (x) との積の全直線上での定積分は (0) に等しい。

関連記事

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

目次
閉じる